壹、前言
貳、各題滿分參考答案及評分原則
第 12 題
一、滿分參考答案
根據題意，將 代入，推得 。
再利用 配方得，故圓心 點坐標為 、、， 所以 與 夾角的餘弦值為 。
二、評分原則
正確計算得出題意所求為 。
三、正確解題步驟
根據題意條件，利用所學數學知識求得兩向量夾角的餘弦值。
四、常見的錯誤概念或解法
1. 向量寫錯導致餘弦值算錯，例如寫 或 。
2. 向量內積概念不清楚，例如將向量內積寫成外積 。
3. 以向量內積求夾角餘弦值，但計算錯誤或數字代錯，例如寫 或寫 。
4. 以餘弦定理求夾角餘弦值，但計算錯誤，例如寫 。
第 13 題
【解法一】
圖形在點 的切線斜率為 ，直線 斜率為 ，直線 與 過點 的切線垂直，所以 過點 的切線斜率為 ， 兩切線都過 點且斜率相等，所以 圖形與 在 P 點有共同的切線。
【解法二】
圖形在點 的切線斜率為 ， 圖形在點 的切線方程式為 。圓心 到直線 的距離為 ，等於半徑，所以 圖形與 在 P 點有共同的切線。
1. 正確計算得到 圖形與 在 的切線斜率為 1，或寫出正確的切線方程式 ，且有正確的解題過程。
2. 正確證明 圖形或 其中一個在 的切線也是另一個圖形的切線，且有正確的推論過程與理由。
利用所學數學知識論證 圖形與 在 P 點有共同切線。此題解法不只一種，例如可求出 圖形與 在 P 點的切線斜率與切線方程式，或求出 圖形與 其中一個在 P 點的切線，並正確論證其也是另一個圖形的切線。
1. 之導函數算錯導致切線寫錯，例如寫 得到錯誤的切線斜率 2。
2. 算出 之導函數為 ，但誤以為切線即為 。
3. 計算錯誤，並以錯誤理由論證圓的切線，例如寫 推得圓在點 的切線斜率為 1。
4. 能算出拋物線的切線方程式或切線斜率，但未正確證明其也是圓的切線。
5. 欲以圓心到拋物線切線的距離等於圓半徑論證，但未正確證明，例如只寫距離等於 ，沒有計算過程。
6. 計算錯誤導致切線寫錯，例如寫切線方程式為 。
第 14 題
圖形對 軸對稱，圓 的圖形也對 軸對稱，先求在右半平面的面積： 軸、 軸、 以及線段 所圍梯形面積為 ，減去正 軸、線段 與圓 （半徑為 ）所圍扇形面積為 ，再減去 與 軸以及 所圍區域面積 ，得右半平面的面積為 ，故題意所求面積為 。
為圓 的上半圓在區間 的面積，為 。
故 。
1. 正確計算扇形面積 COP 為 或 ，且有正確的解題過程。
2. 正確計算得到題意所求區域面積為 ，且有正確的解題過程。
以數學式表達 圖形、圓 的圖形與題意所求面積的關係，並利用所學數學知識求出題意所求面積。此題解法不只一種，例如可先求線段 與圓 所圍扇形面積或圓 的上半圓在區間 的面積。
1. 積分區域錯誤，例如寫 或寫 。
2. 反導函數算錯或積分上下限寫錯，例如寫 ，或寫 。
3. 扇形區域面積寫錯，例如以為半徑為 1，寫扇形區域面積為 。
4. 誤以為積分 。
第 16 題
因為 為長軸的其中一個頂點，且短軸與長軸垂直，故 的短軸位在直線 上，代入方程式 ，得 ，故 為短軸的其中一個頂點，短軸長為 。
1. 正確計算得到短軸的方程式 ，且有正確的解題過程。
2. 正確計算得到短軸長為 4，且有正確的解題過程。
根據題意，利用橢圓長短軸垂直的性質得出短軸的直線方程式，再利用所學數學知識求出短軸頂點與短軸長。
1. 求出長軸方程式為 或知長軸直線斜率為 ，但不清楚兩直線垂直的條件，導致短軸方程式寫錯，例如將短軸方程式寫成 或 。
2. 僅寫出短軸方程式的斜率，未完整寫出短軸方程式。
3. 正確算出短軸方程式，但解短軸長時忘記將半短軸長乘以 2。
4. 計算錯誤，例如已解出短軸端點坐標為 及 ，但兩點距離算錯。
第 17 題
依據題意，線性變換將 變換到 且將 變換到 ，所以線性變換的矩陣表示為 。
設 點坐標為 ， 由此線性變換可得 ，
P’ 在 軸上，可推得
因為 的方程式為 且 點在 上，將 代入，解得
因旋轉角 為銳角， 點在第四象限，故 ，，
點坐標為 。
設 點坐標為，，代入 的方程式，
則 ，得到 點坐標為
旋轉 角，則 ，，
旋轉矩陣為 且其逆矩陣為
所以 ， 點坐標為。
1. 利用試題條件解得橢圓 的標準式 與 點在 上，推得 點坐標為 ，且有正確的解題過程。
2. 正確計算 點坐標為 與正確寫出旋轉矩陣 的逆矩陣，推得 點坐標為 ，且有正確的解題過程。
根據題意條件，利用所學數學知識求出 點坐標。此題解法不只一種，例如可先求原橢圓的標準式或求旋轉矩陣的逆矩陣。
1. 未注意到題目條件，將 坐標寫成 ，或以為 點有兩個答案。
2. 欲利用原橢圓 解題，但誤將原橢圓 的標準式寫成 。
3. 欲利用線性變換矩陣求坐標，但矩陣寫錯，例如寫線性變換矩陣為 。
4. 搞錯橢圓旋轉方向，誤以為 是由 順時針旋轉 角得到。
5. 計算錯誤，例如寫 。
參、結語
