壹、前言
111 學年度學科能力測驗數學 B 考科(簡稱「111 學測數學 B」)的題型有選擇(填)與混合題或非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證過程,答題時應將推理或解題過程說明清楚,且得到正確答案,方可得到滿分。如果計算錯誤,則酌給部分分數。如果只有答案對,但觀念錯誤,或過程不合理,則無法得到分數。
數學科非選擇題的解法通常不只一種,在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。111 學年度學科能力測驗數學 B 考科非選擇題各題的參考答案說明如下:
貳、各題評分原則
第 19 題
一、滿分參考答案
由題意可得
、
、![](data:image/png;base64,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)
由通分或化成小數比較可得
,即![](data:image/png;base64,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)
因為正弦函數在區間
為(嚴格)遞增函數,所以
。
二、評分原則
(一) 根據題意列出正確的數學式,例如三個角度的正弦值或是三組邊長的比值。
(二) 正確寫出
、
、
的大小關係並說明理由,例如利用正弦函數嚴格遞增性質得到
。
三、正確解題步驟
此題根據題幹條件,利用所學數學策略列出正確的數學式,例如三個角度的正弦函數值,或正確的邊長比。接下來根據所列之數學式,正確寫出三個角度的大小關係並說明理由,例如利用正弦函數的遞增性質。
四、常見的錯誤概念或解法
(A1) 誤以為塔高為塔頂至地面的垂直距離,例如
。
(A2) 正弦函數值的表示錯誤,例如
、
。
(A3) 比較三個角度的大小關係錯誤,
。
(A4) 比較三個角度的大小關係的理由錯誤或未說明理由,例如未說明
的理由或僅以畫圖說明,但未附算式。
(A5) 計算錯誤。
第20題
一、滿分參考答案
設兩座鐵塔塔高皆為
公尺,則其偏移距離分別為
與
,依題意「偏移距離相差20公尺」可列式為
![](data:image/png;base64,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)
![](data:image/png;base64,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)
,解得
公尺。
因為
和
,可得
與
故兩塔的塔頂到地面之距離分別為
與
,得其距離相差
(公尺)。
上述之兩塔的塔頂到地面距離也可利用畢氏定理得到,例如
、
。
二、評分原則與說明
(一) 根據題意,正確連結塔高、偏移距離與正弦函數值三者之間的關係,並列出正確的數學式。
(二) 正確解出上述所列之數學式,並正確求出兩塔的塔頂到地面之垂直距離。
(三) 正確比較兩垂直距離的大小關係,並寫出其相差值。
三、正確解題步驟
此題根據題幹條件,利用所學數學策略列出塔高、偏移距離與正弦函數值的數學式。再根據所寫的數學式,求出塔高或是偏移距離。最後正確比較兩塔的塔頂到地面之距離,並算出其相差值。
四、常見的錯誤概念或解法:
(B1) 未正確連結塔高、偏移距離與正弦函數值的關係,而列錯數學式。例如
或
。
(B2) 餘弦函數值算錯,例如
。
(B3) 未依題意寫出兩塔的塔頂到地面之距離相差的值。
(B4) 計算錯誤。
參、結語
數學科非選擇題的解法通常不只一種,且有些解法並不屬於高中課程範圍,在此提供屬於高中課程,且多數考生可能採用的解法以供各界參考。不管採取哪種解法,均需於答題卷上清楚表達推理或解題過程,且得到正確答案,方可得到滿分。如果只有答案對,但觀念錯誤,或過程不合理,則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟,以及得部分分數與無法得分的可能情形,主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。