壹、前言

111 學年度學科能力測驗數學 B 考科（簡稱「111 學測數學 B」）的題型有選擇（填）與混合題或非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。

數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考。111 學年度學科能力測驗數學 B 考科非選擇題各題的參考答案說明如下：

貳、各題評分原則

第 19 題

一、滿分參考答案

由題意可得

、、

由通分或化成小數比較可得，即

因為正弦函數在區間為（嚴格）遞增函數，所以。

二、評分原則

(一) 根據題意列出正確的數學式，例如三個角度的正弦值或是三組邊長的比值。

(二) 正確寫出、、的大小關係並說明理由，例如利用正弦函數嚴格遞增性質得到。

三、正確解題步驟

此題根據題幹條件，利用所學數學策略列出正確的數學式，例如三個角度的正弦函數值，或正確的邊長比。接下來根據所列之數學式，正確寫出三個角度的大小關係並說明理由，例如利用正弦函數的遞增性質。

四、常見的錯誤概念或解法

(A1) 誤以為塔高為塔頂至地面的垂直距離，例如。

(A2) 正弦函數值的表示錯誤，例如、。

(A3) 比較三個角度的大小關係錯誤，。

(A4) 比較三個角度的大小關係的理由錯誤或未說明理由，例如未說明的理由或僅以畫圖說明，但未附算式。

(A5) 計算錯誤。

第20題

一、滿分參考答案

設兩座鐵塔塔高皆為公尺，則其偏移距離分別為與，依題意「偏移距離相差20公尺」可列式為

，解得公尺。

因為和，可得與

故兩塔的塔頂到地面之距離分別為與，得其距離相差(公尺)。

上述之兩塔的塔頂到地面距離也可利用畢氏定理得到，例如 、。

二、評分原則與說明

(一) 根據題意，正確連結塔高、偏移距離與正弦函數值三者之間的關係，並列出正確的數學式。

(二) 正確解出上述所列之數學式，並正確求出兩塔的塔頂到地面之垂直距離。

(三) 正確比較兩垂直距離的大小關係，並寫出其相差值。

三、正確解題步驟

此題根據題幹條件，利用所學數學策略列出塔高、偏移距離與正弦函數值的數學式。再根據所寫的數學式，求出塔高或是偏移距離。最後正確比較兩塔的塔頂到地面之距離，並算出其相差值。

四、常見的錯誤概念或解法：

(B1) 未正確連結塔高、偏移距離與正弦函數值的關係，而列錯數學式。例如或。

(B2) 餘弦函數值算錯，例如。

(B3) 未依題意寫出兩塔的塔頂到地面之距離相差的值。

(B4) 計算錯誤。

參、結語

數學科非選擇題的解法通常不只一種，且有些解法並不屬於高中課程範圍，在此提供屬於高中課程，且多數考生可能採用的解法以供各界參考。不管採取哪種解法，均需於答題卷上清楚表達推理或解題過程，且得到正確答案，方可得到滿分。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟，以及得部分分數與無法得分的可能情形，主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。