壹、前言

數學甲的題型有選擇（填）題、混合題型與非選擇題，其中非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。若過程中列式正確，但計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。以下提供非選擇題參考答案、評分原則，以及考生作答中無法得到滿分的情形。

貳、各題滿分參考答案及評分原則

第 13 題

一、滿分參考答案

與所截邊長相等，設此邊長為，由相似形可得，所以。

所截矩形另一邊長為，所以矩形面積為。

二、評分原則

能否依據題意所給條件，以相似形求得矩形邊長，並證得矩形面積。

三、正確解題步驟

根據題幹條件，利用所學數學策略求出矩形邊長，例如相似形的性質，以證得矩形面積。 

四、常見的錯誤概念或解法

(一) 矩形長寬計算錯誤，如：將矩形寬算成。

(二) 算出矩形長寬但未算矩形面積。

(三) 僅由題目告知之面積湊出答案，未寫出證明過程，如：。

第 14 題

一、滿分參考答案

1. 由，與過的水平面所截矩形面積為， 再乘上高，得黎曼和。

2. 體積的定積分式為。

利用反導函數得積分值為。

二、評分原則

能否由切片方法寫下估計積木體積的黎曼和，並能利用定積分表示積木體積，進而求得積木體積值。

三、正確解題步驟

利用前一題得出的矩形面積，以切片方法寫下估計積木體積的黎曼和，並利用定積分表示積木體積，進而求得積木體積值。

四、常見的錯誤概念或解法

(一) 黎曼和形式錯誤，如：黎曼和寫成或

(二) 未寫出正確的定積分式，如：，或 。

(三) 定積分式正確但反導函數錯誤，如：

(四) 計算錯誤，如：。

第 15 題

一、滿分參考答案

、、所形成的三角形邊長分別為、、。

由餘弦定理得，

微分得。

二、評分原則

能否正確操作餘弦定理並得出，並以微分除法律求其導函數。

三、正確解題步驟

根據題幹條件得出三角形的三邊長，利用餘弦定理得出，並以微分除法律求其導函數。

四、常見的錯誤概念或解法

(一) 餘弦公式錯誤或僅寫出餘弦公式而未代入向量、之長度，如： ，或。

(二) 向量長度與向量內積混淆，如：。

(三) 計算錯誤，如：或。

第 16 題

一、滿分參考答案

法一：微分

由上題的可得：

當時，，故此時為遞減；時，此時為遞增。

當時，，有最小值，此時夾角為最大。

法二：配方法

由上題的，其中的分子為常數，將分母配方得，當時，分母遞增，此時為遞減；時，分母遞減，此時為遞增。

當時，分母有最大值，有最小值。此時夾角為最大。

二、評分原則

以一階微分的正負來說明在哪個區域遞增、遞減，以說明為多少時，夾角為最大。

三、正確解題步驟

利用的正負情形來說明在哪個區域遞增、遞減，並指出為多少時，夾角為最大。 

四、常見的錯誤概念或解法

(一) 不清楚導函數的正負情形與函數遞增、遞減的關係，如：寫出時，但誤以為遞增。

(二) 以配方法解題，誤以為極值會出現在或。

第 17 題

一、滿分參考答案

因為 5 在 4.96 附近且易於計算，所以是最合適的估計參考點。在 5 附近的一次估計為，由與，可得。

二、評分原則

會寫出一次估計形式，並找到合理的估計參考點說明當時，約為多少。

三、正確解題步驟

根據題幹條件找出合理估計點，並藉此寫出的一次估計形式，進而得出的估計值。

四、常見的錯誤概念或解法

(一) 僅以符號寫出一次估計形式，如：。

(二) 計算錯誤。

參、結語

數學科非選擇題的解法通常不只一種，且有些解法並不屬於高中課程範圍，在此提供屬於高中課程，且多數考生可能採用的解法以供各界參考。不管採取哪種解法，均需於答題卷上清楚表達推理或解題過程，且得到正確答案，方可得到滿分。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟，以及得部分分數與無法得分的可能情形，主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。