一、前言

111 學年度學科能力測驗在 111 年 1 月 23 日落幕後，本屆高三考生面臨新課綱的一大戰役就此暫歇，而各界所關心學科能力測驗《數學考科》，於本年度起由一科「數學」分為兩科「數學 A」、「數學 B」，本篇文章將針對數學 A 考科進行試題特色分析。

身為 108 課綱的第一屆試卷，本份試卷具有承先啟後的精神，考前各界所關心的「素養題要如何出」、「數學 A 考科難度如何」的種種問題，將在 111 學年度學科能力測驗數學A考科（簡稱「學測數學A」）中試題特色中得到解答。

二、試題特色

在本次學科能力測驗數學 A 考科中，以下針對「第 3 題」、「第 9 題」、「第 17 題」、「題組：第 18-20 題」進行試題特色分析：

第 3 題─數據分析（試題新穎，不須大量計算）

本卷在試題設計中，存有著重觀念而不須繁雜計算的創新試題，此題即為其特色。

此道試題旨在評量考生對於「迴歸直線（最適合直線）」的認識，是否能明白趨勢直線所在位置，以及投影到的選項直線中，哪一條所形成的數據點最密集，即為「變異數」的概念。解此道試題，僅需使用「迴歸直線（最適合直線）」與「變異數」的核心概念，打破以往此類試題評量學生需要「花時間大量計算」並得到正確值之做法，同時結合「一維數據分析」與「二維數據分析」的學習重點進行評量，讓人眼睛為之一亮。

第 9 題─平面向量（數學A類課程強調的學習重點之一）

在本次數學 A 類課程的領綱中，平面向量的學習條目著重於「線性組合」的重要性，而在數學 A 考科中，又以平面向量「線性組合與平行四邊形面積」的連結為強調重點。本試題即以此學習重點來命題，既能評量學生在平面向量的學習成效，亦能符合數學領綱精神，更能落實教學現場的教師進行教學正常化的理念。

此題給定後，在同一平面上找到三點，形成三向量，亦均以線性組合所表示，學生需理解三點相關位置方能繼續解題，而各選項設計理念如下：

選項(1)中，旨在測驗學生是否理解：滿足條件能確定點位置，再行改變其係數積後，其終點的變化關係。此選項可以強化學生的線性組合的概念心像。

選項(2)中，旨在測驗學生是否能理解：將線性組合的向量長度，事實上會被原來的兩向量長度影響。此選項會鑑別出對向量運算不熟稔的考生。

選項(3)(4)(5)中，均為測驗學生是否能理解：「線性組合與平行四邊形面積」的連結，完全符合數學領綱所強調之重點。

尤其是選項(5)，部分學生在平面向量的學習過程中，求面積時沒有加上「絕對值」的符號，導致求得錯誤答案，此選項的設計也會使得部分學習根基不穩的考生誤答此選項，誘答力極高。

第 17 題─平行六面體（一題多解，解法多樣求變）

此次數學領綱與 103 微調課綱相比，有部分是並非過往學科能力測驗的評量重點，平行六面體體積即是其中一環。在 111 學測「高數學需求」的數學 A 考科中，此學習概念於本題有著其重要性。再者，此題亦結合了不一樣的解題方式，可培養學生的多樣化的連結思考能力，在此分析如下：

此題的解題核心觀念在於利用「三階行列式」來計算「平行六面體體積」，首先須適當假設在平面上的頂點坐標為，且滿足，至此，可引發不同面向的解法。

《解法一》可直接將三頂點與點形成三向量，再利用三階行列式，或是來計算平行六面體體積，再將此式與結合，利用柯西不等式來求得極值。

《解法二》求得三頂點所在的平面方程式，再將點到此平面之距離，利用「底面積高」計算平行六面體體積，再將此式與結合，仍可利用柯西不等式來求得極值。

《解法三》觀察得到點滿足，因此可將其假設為，再利用三階行列式，或是來計算平行六面體體積，最後利用正餘弦的疊合來求得極值。

《解法一》中，其特點為─穩扎穩打地依題意列式計算，必須有「三階行列式」與「柯西不等式」的核心概念，方能順利解題。

《解法二》中，其特點為─著重於立體圖形的想像，利用「點到平面距離公式」、「空間中外積求面積」及「柯西不等式」等幾何相關的核心概念，方能順利解題。

《解法三》中，其特點為─若對於三角函數領域反應較為靈敏的學生，可利用「圓的參數式」的假設來決定點坐標，此時僅剩一個未知參數，再利用「三階行列式」、「正餘弦的疊合」的核心概念來解題。

不論是哪種解法，平行六面體體積的計算是相對重要的，而「柯西不等式」、「正餘弦疊合」也是學生的學習重點，不可偏廢。在此道試題背後的命題目標中，期盼學生可依照不同的學習經驗來做不同方法的解題，並不侷限某一種解法，是道能夠鑑別前段考生的精彩試題。

第 18-20 題─生活情境應用（情境素養取材）

本著 108 課綱中「情境素養」的命題精神，於此題組展露無遺，利用生活熟悉的掃描工具作為命題素材，並評量學生是否能將其情境數學化，並據此解決問題。

以往學測考試中，並沒有混合題的配置，即便是試辦考試數學 A 考科中，亦沒有「繪圖」的考題，是為一大特點。

為避免考生因為城鄉差距的影響，導致對於題目的理解不同，本題雖取用「掃描棒」作為命題素材，但在題幹敘述中，即以清楚的陳述方式，描述掃描棒的初始位置及移動方式。考生必須理解圓方程式所代表之圖形相關位置，並在環狀區域上稍加比劃，即可得到掃描棒的掃描區域，得到掃描區域後，再利用簡易的廣義三角比與極坐標概念，即可解得第 19 題。最後，結合弧度量與扇形面積公式，對掃描區域進行適當分割拼湊，即可得到解答。此題難度不大，學生必須理解題意，勇敢作答，都會有不錯的表現。

三、回饋高中的教與學

考試，是檢測學生的學習成果，學科能力測驗亦然，在本次數學 A 考科中，命題者用心程度不在話下，期望能檢視學生在高中所得到之學力是否能夠銜接大學課程，除了檢視學習成效以外，一份試卷亦需鑑別各程度的考生，雖屬不易，但此試卷作為新課綱考試的先鋒，可見學生在平常時的數學 A 科目學習切莫囫圇吞棗，必須扎實學習，並將各單元融會貫通，方能得到學習成效。再者，在學習者的學習過程，亦須隨時檢視自己的學習歷程中，是否能夠表述自己所學之知識，若能夠將前後所學知識進行反思、連結，達到有效學習，在數學 A 考科將能繳出一張漂亮成績單，亦能證明其學習成效。

此份試卷雖大部分試題均有計算的部分，但多數計算亦都不繁雜，平常教師在教學現場，亦須鼓勵學生勇於下筆作答，建議在教學脈絡上也可使用引導式教學，先用簡易的例子讓學生理解其概念之後，再慢慢加深難度，甚至能夠適時結合不同章節的概念，切莫流於技巧化，這對學生的學習並無益處，亦非教學目的。

四、結語

綜觀上述，此次數學 A 考科，不論試前、試後，相信都是各界所關注的「寵兒」，希望藉由本卷能給教學現場的教師與學生能有穩定學習的啟發，切莫劍走偏鋒，一味地練習需要特殊技巧或特殊解法的問題，這樣會失去學習的目的及成效。在此，亦盼教育現場的教師，一同為高中數學教育努力，亦能培育大學端所需要之人才，並落實教學正常化。