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111年學科能力測驗試題特色-【數學A】

一、前言

111 學年度學科能力測驗在 111 1 23 日落幕後,本屆高三考生面臨新課綱的一大戰役就此暫歇,而各界所關心學科能力測驗《數學考科》,於本年度起由一科「數學」分為兩科「數學 A」、「數學 B」,本篇文章將針對數學 A 考科進行試題特色分析。

身為 108 課綱的第一屆試卷,本份試卷具有承先啟後的精神,考前各界所關心的「素養題要如何出」、「數學 A 考科難度如何」的種種問題,將在 111 學年度學科能力測驗數學A考科(簡稱「學測數學A」)中試題特色中得到解答。

二、試題特色

在本次學科能力測驗數學 A 考科中,以下針對「第 3 題」、「第 9 題」、「第 17 題」、「題組:第 18-20 題」進行試題特色分析:

3 數據分析(試題新穎,不須大量計算)

本卷在試題設計中,存有著重觀念而不須繁雜計算的創新試題,此題即為其特色。

此道試題旨在評量考生對於「迴歸直線(最適合直線)」的認識,是否能明白趨勢直線所在位置,以及投影到的選項直線中,哪一條所形成的數據點最密集,即為「變異數」的概念。解此道試題,僅需使用「迴歸直線(最適合直線)」與「變異數」的核心概念,打破以往此類試題評量學生需要「花時間大量計算」並得到正確值之做法,同時結合「一維數據分析」與「二維數據分析」的學習重點進行評量,讓人眼睛為之一亮。

9 平面向量(數學A類課程強調的學習重點之一)

在本次數學 A 類課程的領綱中,平面向量的學習條目著重於「線性組合」的重要性,而在數學 A 考科中,又以平面向量「線性組合與平行四邊形面積」的連結為強調重點。本試題即以此學習重點來命題,既能評量學生在平面向量的學習成效,亦能符合數學領綱精神,更能落實教學現場的教師進行教學正常化的理念。

此題給定後,在同一平面上找到三點,形成三向量,亦均以線性組合所表示,學生需理解三點相關位置方能繼續解題,而各選項設計理念如下:

選項(1)中,旨在測驗學生是否理解:滿足條件能確定點位置,再行改變其係數積後,其終點的變化關係。此選項可以強化學生的線性組合的概念心像。

選項(2)中,旨在測驗學生是否能理解:將線性組合的向量長度,事實上會被原來的兩向量長度影響。此選項會鑑別出對向量運算不熟稔的考生。

選項(3)(4)(5)中,均為測驗學生是否能理解:「線性組合與平行四邊形面積」的連結,完全符合數學領綱所強調之重點。

尤其是選項(5),部分學生在平面向量的學習過程中,求面積時沒有加上「絕對值」的符號,導致求得錯誤答案,此選項的設計也會使得部分學習根基不穩的考生誤答此選項,誘答力極高。

17 平行六面體(一題多解,解法多樣求變)

此次數學領綱與 103 微調課綱相比,有部分是並非過往學科能力測驗的評量重點,平行六面體體積即是其中一環。在 111 學測「高數學需求」的數學 A 考科中,此學習概念於本題有著其重要性。再者,此題亦結合了不一樣的解題方式,可培養學生的多樣化的連結思考能力,在此分析如下:

此題的解題核心觀念在於利用「三階行列式」來計算「平行六面體體積」,首先須適當假設在平面上的頂點坐標為,且滿足,至此,可引發不同面向的解法。

《解法一》可直接將三頂點與點形成三向量,再利用三階行列式,或是來計算平行六面體體積,再將此式與結合,利用柯西不等式來求得極值。

《解法二》求得三頂點所在的平面方程式,再將點到此平面之距離,利用「底面積高」計算平行六面體體積,再將此式與結合,仍可利用柯西不等式來求得極值。

《解法三》觀察得到點滿足,因此可將其假設為,再利用三階行列式,或是來計算平行六面體體積,最後利用正餘弦的疊合來求得極值。

《解法一》中,其特點為─穩扎穩打地依題意列式計算,必須有「三階行列式」與「柯西不等式」的核心概念,方能順利解題。

《解法二》中,其特點為─著重於立體圖形的想像,利用「點到平面距離公式」、「空間中外積求面積」及「柯西不等式」等幾何相關的核心概念,方能順利解題。

《解法三》中,其特點為─若對於三角函數領域反應較為靈敏的學生,可利用「圓的參數式」的假設來決定點坐標,此時僅剩一個未知參數,再利用「三階行列式」、「正餘弦的疊合」的核心概念來解題。

不論是哪種解法,平行六面體體積的計算是相對重要的,而「柯西不等式」、「正餘弦疊合」也是學生的學習重點,不可偏廢。在此道試題背後的命題目標中,期盼學生可依照不同的學習經驗來做不同方法的解題,並不侷限某一種解法,是道能夠鑑別前段考生的精彩試題。

18-20 生活情境應用(情境素養取材)

本著 108 課綱中「情境素養」的命題精神,於此題組展露無遺,利用生活熟悉的掃描工具作為命題素材,並評量學生是否能將其情境數學化,並據此解決問題。

以往學測考試中,並沒有混合題的配置,即便是試辦考試數學 A 考科中,亦沒有「繪圖」的考題,是為一大特點。

為避免考生因為城鄉差距的影響,導致對於題目的理解不同,本題雖取用「掃描棒」作為命題素材,但在題幹敘述中,即以清楚的陳述方式,描述掃描棒的初始位置及移動方式。考生必須理解圓方程式所代表之圖形相關位置,並在環狀區域上稍加比劃,即可得到掃描棒的掃描區域,得到掃描區域後,再利用簡易的廣義三角比與極坐標概念,即可解得第 19 題。最後,結合弧度量與扇形面積公式,對掃描區域進行適當分割拼湊,即可得到解答。此題難度不大,學生必須理解題意,勇敢作答,都會有不錯的表現。

三、回饋高中的教與學

考試,是檢測學生的學習成果,學科能力測驗亦然,在本次數學 A 考科中,命題者用心程度不在話下,期望能檢視學生在高中所得到之學力是否能夠銜接大學課程,除了檢視學習成效以外,一份試卷亦需鑑別各程度的考生,雖屬不易,但此試卷作為新課綱考試的先鋒,可見學生在平常時的數學 A 科目學習切莫囫圇吞棗,必須扎實學習,並將各單元融會貫通,方能得到學習成效。再者,在學習者的學習過程,亦須隨時檢視自己的學習歷程中,是否能夠表述自己所學之知識,若能夠將前後所學知識進行反思、連結,達到有效學習,在數學 A 考科將能繳出一張漂亮成績單,亦能證明其學習成效。

此份試卷雖大部分試題均有計算的部分,但多數計算亦都不繁雜,平常教師在教學現場,亦須鼓勵學生勇於下筆作答,建議在教學脈絡上也可使用引導式教學,先用簡易的例子讓學生理解其概念之後,再慢慢加深難度,甚至能夠適時結合不同章節的概念,切莫流於技巧化,這對學生的學習並無益處,亦非教學目的。

四、結語

綜觀上述,此次數學 A 考科,不論試前、試後,相信都是各界所關注的「寵兒」,希望藉由本卷能給教學現場的教師與學生能有穩定學習的啟發,切莫劍走偏鋒,一味地練習需要特殊技巧或特殊解法的問題,這樣會失去學習的目的及成效。在此,亦盼教育現場的教師,一同為高中數學教育努力,亦能培育大學端所需要之人才,並落實教學正常化。

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