國立勤益科技大學通識教育中心劉柏宏教授／撰

在一般的認知中，數學總是被歸類為一門科學，數學素養當然也是科學理性最典型的展現，這是毋庸置疑。不過本文想要強調的是，從數學發展過程來看，數學或許更接近人文學科。

談到人文學科，大家總是聯想到文學、藝術、哲學等。根據牛津字典，人文學科是指「與人類文化有關的學習」。美國史丹佛大學人文學科中心對人文學科的定義是「研究人如何處理和紀錄人類經驗」的學科。文學、藝術、哲學等學科當然可以毫無疑義地站立在人文學科之列。相對於科學知識的日新月異，人文學科一個很重要的本質就是「傳承」。兩千多年前相傳由古希臘詩人荷馬所寫的兩部巨著《伊利亞特》和《奧德賽》至今仍為人傳頌；古埃及藝術中經常以類比的象徵手法，透過符號展示他們對自然的認識，這一點仍然是現代藝術家慣用的手法；春秋戰國時代諸子百家思想還隱約中引領著我們的處事態度。不過難道數學就不具備上述資格嗎？兩千多年前《幾何原本》的證明形式與內容至今仍被奉為圭臬；當今全世界不也是分分秒秒、時時刻刻仍遵守著古巴比倫人所創立的六十進位？三國時期劉徽的圓面積公式「半周半徑相乘得積步」和當代公式(pi r^{2})相比不僅同樣精確，也更合乎直覺。所以從傳承角度而言，說數學是一種人文知識應當不為過。

前述所言是從歷史宏觀角度談數學的人文本質，現在改從知識增長的微觀面向來看。概括來說，數學有客觀的事實根據，知識的確定性(certainty)較偏重實證方法。相對於此，人文學科是一種主觀認知，知識的可信度(reliability)較偏重辯證。但這種劃分方法是「見林不見樹」。我們不妨想一下，一個數學事實是如何產生？數學家的洞見和發現究竟從何而來？說到這點，不得不提到兩位相當長壽的數學家：法國數學家阿達瑪(Jacques Hadamard)和匈牙利數學家波利亞(George Polya)。兩位數學家都活到98歲高齡，也都有專著論述數學思維的本質。阿達瑪說數學的洞見或是發現需要一個「孵化」的過程，這過程除融合知識和直覺外，也依賴有意識的思考和無意識(或是潛意識)的靈光乍現。波利亞力提倡「啟發法」(heuristics，又稱捷思法)，強調臆測和合情推理。他說，數學不僅僅是一門演繹的科學，更是一門實驗的科學。科學知識靠觀察現象建立假說後，依據實驗驗證假說，再提出定律。而數學呢？首先觀察數學物件的規律後建立猜想，再以邏輯論證證明猜想後提出定理。所以數學思維的本質與科學知識本質無異，只是工具不同，而且數學這套思想實驗的法則比科學還早。

古希臘畢達哥拉斯學派稱呼6、28、496、8128這四個數字為完美數(某數等於其所有因數之和，6=1+2+3； 28=1+2+4+7+14……)，但苦於找不到第五個完美數，因此猜測第五個完美數是5位數，第六個完美數是6位數，且他們的個位數字應該會以6,8,6,8…的規律交錯出現。可惜1456年數學家找到的第五個完美數33,550,336，不是五位數，1588年找到的第六個完美數8,589,869,056，個位數也不是8。畢達哥拉斯學派的猜想(或是幻想)至此破滅！但這無法澆熄數學家的熱情，迄今仍有數學家孜孜不倦於證明或推翻關於完美數的其他猜想。二十世紀末懷爾斯(Andrew Wiles)證明了「費馬猜想」；二十一世紀初佩雷爾曼(Grigori Yakovlevich Perelman)攻克了「龐加萊猜想」；2013年張益唐大幅縮短了「孿生質數猜想」的質數間距；今年9月24日高齡89的阿蒂亞(Michael Atiyah)宣稱(但還未受到證實)證明了「黎曼猜想」。可見追逐數學猜想的浪漫情懷才是推動數學知識前進的隱形火車頭，無怪乎華羅庚會說「千古數學一大猜」！

前面所說的數學人文本質對數學的素養教學有甚麼啟發呢？簡單說就是數學教學要更有「人味」，除了可以融入數學史，突顯數學概念的發展歷程外，教師在數學推導的教學過程中盡量不要太完美，留點餘地讓學生猜猜看，讓想像力飛一下。數學史告訴我們，數學概念和知識形成的過程往往是崎嶇和不符合邏輯的。太強調嚴謹、完美、和太有效率的教學會使得學生無緣體驗數學知識掙扎孵化的艱辛，無法歷經臆測之奇與論證之美，更難有機會享受那靈光乍現的成就感。

加州柏克萊大學熊菲德教授(Alan Schoenfeld)主張，老師們在黑板解題時要一路引領學生體驗數學思考的坎坷過程，甚至刻意犯錯讓學生發現，如此才能培養學生的後設認知(meta-cognition)能力，也就是培養學生數學解題過程的自覺(self-awareness)。有自覺才能建立對數學知識的知覺(sense)，進而涵養數學思維中最重要的數學直覺。