壹、前言
111 學年度學科能力測驗數學 A 考科（簡稱「111 學測數學 A」）的題型有選擇（填）與混合題，其中混合題中的非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。若過程中列式正確，但計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。以下提供非選擇題參考答案、評分原則，以及考生作答中無法得到滿分的情形。
貳、各題評分原則
第 19 題
一、滿分參考答案
掃描棒掃過之區域圖形如下：
因為，，， 故
（也可由餘弦定理，或內積求得）
因為，可知，，點的極坐標表示為 (或）。
二、評分原則
根據題意，畫出掃描棒掃過的區域，並藉由內積，或餘弦定理，或為直角，求出的值。再由與寫出點的極坐標。
三、正確解題步驟
根據題幹條件，畫出掃描棒掃過的封閉區域，並以陰影表示之。接著可藉由內積，或餘弦定理，或為直角，求出的值與點的極坐標。
四、常見的錯誤概念或解法
(一)有關區域R的繪圖
(A1) 因認為掃描棒的黑、白端的起始點分別在、，終點分別停在、，故直接在整個上半圓之環狀帶區域畫斜線。
(A2) 所標示斜線區域超出上半圓之環狀帶區域，如：以為掃描棒的長度等於長，故將整個上半圓區域畫上斜線；或認為掃描棒的黑端位於掃描棒的中間位置，所以棒子會橫躺在軸上，故直接在上半圓的內部與的外部之環狀帶區域畫上斜線。
(A3) 未明確將區域的邊界繪出，如：只繪出某一邊界的掃描棒，並未將另一邊界的掃描棒繪出，使得該區域為一未封閉區域。
(A4) 掃描棒的起始點與終點所停位置有誤，如：起始點停在，終點停在；棒子的起始點停在，終點停在，且掃描棒都垂直軸。
(二)有關求解
(B1) 認為棒子是橫躺，寫出，或。
(B2) 誤以為指的是，得，或誤以為指的是，得。
(B3) 直接寫，未提及任何理由。
(B4) 想利用餘弦定理求解，但算成，得，得。
(B5) 知道，想利用內積求解，但算成，得。
(B6) 知道，但值卻寫錯，如：寫成，或，或。
(三)有關的極坐標
(C1) 認為掃描棒是橫躺，極坐標寫成：，或，或。
(C2) 寫成極式，如：。
(C3) 寫成坐標，如：。
(C4) 知道，又，以為的極坐標是。
(C5) 極坐標的長度與角度位置交換，如：，或。
第20題
如上圖，
(一) 的的面積可由以下幾種解法求得：
【解法一】
的面積扇形的面積的面積扇形的面積。
+
【解法二】
的面積第一象限的環狀帶（扇形的面積的面積）
(
(二) 的面積可由以下幾種解法求得：
第二象限的斜線面積第二象限的環狀帶(的面積扇形的面積)
的面積的面積＋第二象限的面積＝
第二象限的斜線面積環狀帶＋扇形的面積的面積
【解法三】
在與中，因、、，可得。
因，故扇形的面積扇形的面積。
所以，扇形的面積扇形的面積。
故的面積扇形的面積扇形的面積
能利用面積分割算出 與 的面積。
能正確利用面積分割列出數學式，再依此正確計算出 與 的面積。
(一)有關區域與區域R的求解
(D1) 不會算或的面積，如：直觀認為這兩個都是三角形，故認為其面積皆為；或直觀認為這兩個面積皆為。
(D2) 扇形面積算錯，如：少寫了或寫成。
(D3) 不會算環狀帶面積，如：BCDE環狀帶面積，算成；或第一象限的環狀帶面積，算成。
(D4) 面積分割錯誤，如：認為為的環狀帶面積，再加上面積；或面積=面積+第二象限的環狀帶面積面積；或面積=面積+第二象限的環狀帶面積面積。
(D5) 認為掃描棒是橫躺，故以為第一象限的環狀帶面積即為面積，即；上半圓的環狀帶面積即為面積，即。
(D6) 直觀認為面積等於2倍的面積。
(D7) 誤以為面積是上半環狀面積，而面積為題意所指之面積。
(D8) 計算錯誤，如：列出扇形的面積的面積，但算成；或求解面積時，將算成。
參、結語
數學科非選擇題的解法通常不只一種，且有些解法並不屬於高中課程範圍，在此提供屬於高中課程，且多數考生可能採用的解法以供各界參考。不管採取哪種解法，均需於答題卷上清楚表達推理或解題過程，且得到正確答案，方可得到滿分。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟，以及得部分分數與無法得分的可能情形，主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。
