壹、前言
數學甲的題型有選擇(填)題、混合題型與非選擇題,其中非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理論證過程,答題時應將推理或解題過程說明清楚,且得到正確答案,方可得到滿分。若過程中列式正確,但計算錯誤,則酌給部分分數。如果只有答案對,但觀念錯誤,或過程不合理,則無法得到分數。以下提供非選擇題參考答案、評分原則,以及考生作答中無法得到滿分的情形。
貳、各題滿分參考答案及評分原則
第 13 題
一、滿分參考答案

與
所截邊長相等,設此邊長為
,由相似形可得
,所以
。
所截矩形另一邊長為
,所以矩形面積為
。
二、評分原則
能否依據題意所給條件,以相似形求得矩形邊長,並證得矩形面積。
三、正確解題步驟
根據題幹條件,利用所學數學策略求出矩形邊長,例如相似形的性質,以證得矩形面積。
四、常見的錯誤概念或解法
(一) 矩形長寬計算錯誤,如:將矩形寬算成
。
(二) 算出矩形長寬但未算矩形面積。
(三) 僅由題目告知之面積湊出答案,未寫出證明過程,如:
。
第 14 題
一、滿分參考答案
1. 由
,與過
的水平面所截矩形面積為
, 再乘上高
,得黎曼和
。
2. 體積的定積分式為
。
利用反導函數得積分值為
。
二、評分原則
能否由切片方法寫下估計積木體積的黎曼和,並能利用定積分表示積木體積,進而求得積木體積值。
三、正確解題步驟
利用前一題得出的矩形面積,以切片方法寫下估計積木體積的黎曼和,並利用定積分表示積木體積,進而求得積木體積值。
四、常見的錯誤概念或解法
(一) 黎曼和形式錯誤,如:黎曼和寫成
或
(二) 未寫出正確的定積分式,如:
,或
。
(三) 定積分式正確但反導函數錯誤,如:
(四) 計算錯誤,如:
。
第 15 題
一、滿分參考答案
、
、
所形成的三角形邊長分別為
、
、
。
由餘弦定理得
,
微分得
。
二、評分原則
能否正確操作餘弦定理並得出
,並以微分除法律求其導函數。
三、正確解題步驟
根據題幹條件得出三角形的三邊長,利用餘弦定理得出
,並以微分除法律求其導函數。
四、常見的錯誤概念或解法
(一) 餘弦公式錯誤或僅寫出餘弦公式而未代入向量
、
之長度,如:
,或
。
(二) 向量長度與向量內積混淆,如:
。
(三) 計算錯誤,如:
或
。
第 16 題
一、滿分參考答案
法一:微分
由上題的
可得:
當
時,
,故此時
為遞減;
時
,此時
為遞增。
當
時,
,
有最小值,此時夾角
為最大。
法二:配方法
由上題的
,其中
的分子為常數,將分母配方得
,當
時,分母遞增,此時
為遞減;
時,分母遞減,此時
為遞增。
當
時,分母有最大值,
有最小值。此時夾角
為最大。
二、評分原則
以一階微分
的正負來說明
在哪個區域遞增、遞減,以說明
為多少時,夾角
為最大。
三、正確解題步驟
利用
的正負情形來說明
在哪個區域遞增、遞減,並指出
為多少時,夾角
為最大。
四、常見的錯誤概念或解法
(一) 不清楚導函數的正負情形與函數遞增、遞減的關係,如:寫出
時
,但誤以為
遞增。
(二) 以配方法解題,誤以為極值會出現在
或
。
第 17 題
一、滿分參考答案
因為 5 在 4.96 附近且易於計算,所以是最合適的估計參考點。在 5 附近的一次估計為
,由
與
,可得
。
二、評分原則
會寫出一次估計形式,並找到合理的估計參考點說明當
時,
約為多少。
三、正確解題步驟
根據題幹條件找出合理估計點,並藉此寫出
的一次估計形式,進而得出
的估計值。
四、常見的錯誤概念或解法
(一) 僅以符號寫出一次估計形式,如:
。
(二) 計算錯誤。
參、結語
數學科非選擇題的解法通常不只一種,且有些解法並不屬於高中課程範圍,在此提供屬於高中課程,且多數考生可能採用的解法以供各界參考。不管採取哪種解法,均需於答題卷上清楚表達推理或解題過程,且得到正確答案,方可得到滿分。如果只有答案對,但觀念錯誤,或過程不合理,則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟,以及得部分分數與無法得分的可能情形,主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考。